Anche il genio di Leonardo aveva un tallone d’Achille



Leonardo da Vinci, di cui il 2 maggio ricorrono 500 anni dalla morte, è il simbolo universale della genialità e della creatività nell’arte, nell’ingegneria e di numerosi altri campi. Eppure anche lui aveva un “tallone d’Achille”. Difficilmente il suo nome viene accostato alla matematica. In effetti Leonardo arrivò in età piuttosto avanzata allo studio di questa disciplina, che nel corso della sua vita gli procurò più di un grattacapo.

Sappiamo da Giorgio Vasari che in gioventù frequentò per qualche mese la scuola dell’abaco, dove apprese le basi dell’aritmetica e della geometria e che se ne allontanò perché l’insegnante non soddisfaceva le sue richieste di spiegazioni. Non vi sono dubbi sul fatto che abbia abbandonato la scuola, ma certamente non lo fece perché era troppo bravo, come vedremo nel seguito.

Nel ‘500 la matematica si limitava quasi esclusivamente all’aritmetica, alla geometria e all’algebra. Non risulta che Leonardo avesse conoscenze di algebra, mentre ne aveva di aritmetica e di geometria, e, dalla

lettura dei suoi appunti, emerge chiaramente come all’epoca non si trovasse a suo agio con i numeri.

Nei Codici, che aveva cominciato a scrivere quando si era trasferito all’età di trent’anni a Milano alle dipendenze di Ludovico il Moro, non è infrequente trovare errori. Ad esempio, moltiplicando 4096 per due, ottiene 8092 anziché 8192 (ma si tratta certamente di una svista); altri sono più pesanti, come la semplificazione di 12/12 in 1/0; oppure, dovendo trovare la somma di 13/12 + 7/6 + 3/2 arriva al risultato di 216/78, anziché 45/12, individuando nel numero 78, invece che nel 12, il minimo comune multiplo delle tre frazioni; infine effettua la moltiplicazione 2/2 x 2/2 = 4/2, ottenendo 2 anziché 1.

Come molti artisti dell’epoca, Leonardo si occupava di pittura, ma anche di idraulica, ingegneria, architettura ed altro. Per muoversi in tutti questi campi era necessario conoscere la matematica. Egli era consapevole delle sue carenze, così decise di acquistare una copia dell’opera Summa de aritmetica, geometria, proporzioni et proporzionalità del frate francescano e matematico, Luca Pacioli, e iniziò a studiarla quando aveva ormai superato i 40 anni.

Dopo qualche tempo anche il Pacioli si stabilì a Milano e conobbe Leonardo. Tra i due si instaurò subito un clima di stima reciproca tanto che Leonardo usufruì delle sue lezioni quando il frate fu incaricato dell’insegnamento della matematica pubblicamente. Leonardo ne trasse grande giovamento e fu attratto soprattutto dalla geometria e da alcune tipologie di problemi ad essa collegabili, che presentavano un interesse anche da un punto di vista pittorico e architettonico.

Egli lavorò molto sui problemi di tassellatura e di simmetria, importanti nella matematica moderna, soprattutto per le loro ricadute su molte scienze (fisica, geologia, biologia, ecc.).

La tassellatura del piano ha l’obiettivo di coprire il piano per mezzo di figure geometriche posizionate in modo ricorrente, senza parti vuote tra di esse. Leonardo nei Codici ha lasciato sull’argomento molti disegni con commenti, mai accompagnati da tentativi di teorizzazione.

Lo studio delle simmetrie nei suoi appunti è sempre collegato a problemi architettonici come la disposizione simmetrica di cappelle circolari o delle volte di cupole, e così via. Secondo alcuni matematici, come George E. Martin e Hermann Weyl, Leonardo arrivò anche ad importanti risultati e gli attribuirono la paternità di due teoremi sui gruppi finiti di simmetrie, senza fornire indicazioni su dove egli li avesse dimostrati.

Secondo altri, come Giorgio T. Bagni e Bruno D’Amore, questo atteggiamento si inserisce nella tradizione di attribuire a Leonardo dei risultati esaltandone la creatività al di là dei suoi meriti reali. Certo è che Leonardo ha pensato molto a questi temi ed ha riempito pagine di disegni. È vero che in matematica gli schizzi non possono essere accettati come dimostrazioni di teoremi, ma è altrettanto ragionevole che i disegni possano far intuire l’esistenza di regole di simmetria e anche di teoremi non dimostrati.

Problemi ricorrenti negli appunti di Leonardo sono quelli legati allo studio delle proporzioni esistenti tra le parti del corpo umano, degli animali e delle figure in generale. Egli era fortemente attratto dalla cosiddetta sezione aurea (si divide un segmento in due parti e si calcola la divisione tra la lunghezza dell’intero segmento e la parte più lunga, poi la divisione tra il pezzo più lungo e il più corto; se il risultato delle due divisioni è lo stesso, allora si dice che le due parti del segmento sono in rapporto aureo tra di loro; se i due pezzi in cui è diviso il segmento aureo vengono poi utilizzati come lunghezze dei lati di un rettangolo, questo viene detto rettangolo aureo).

Secondo molti studiosi, Leonardo usò ripetutamente le misure auree (che il suo maestro Pacioli chiamava la divina proporzione) nelle sue opere più famose. Ad esempio, nell’Ultima Cena raffigurò Cristo al centro del dipinto e racchiuse in rettangoli aurei il suo corpo, il tavolo e la stanza, nella quadro della Gioconda vi racchiuse il viso di Monna Lisa e le parti del corpo che vanno da un gomito all’altro. Secondo Dan Brown, l’autore del thriller Il Codice da Vinci, la sezione aurea rappresenta la chiave di volta per comprendere la pittura di Leonardo.

L’esempio più classico di studio delle proporzioni è rappresentato dall’Uomo vitruviano con cui stabilì le misure della perfezione del corpo umano. In questo disegno egli dimostra, ad esempio, che la lunghezza tra le estremità delle braccia aperte orizzontalmente è uguale all’altezza dell’uomo e che, con le braccia tese e i piedi uniti la figura umana risulta inscritta in un quadrato, simbolo della Terra, mentre con le braccia tese ed alzate più in alto della posizione orizzontale e le gambe leggermente divaricate, risulta inscritta in un cerchio, simbolo del Cielo. Idealmente quindi l’uomo era la creatura che meglio raccordava la Terra con il Cielo. Successivamente studiò l’anatomia degli uccelli e degli animali, annotando sempre sistematicamente tutte le misure, studiando le proporzioni e cercando le forme geometriche semplici (cerchi, quadrati …) che riteneva fossero alla base dei corpi.

Altro argomento di studio dominante fu quello della quadratura delle figure curvilinee, cioè del calcolo dell’area di una figura curva trasformandola in un quadrato avente la stessa area. Lo studio delle cosiddette lunule e soprattutto il sogno di quadrare il cerchio, accompagnarono Leonardo per tutta la vita. Inseguendo questi miraggi (poi risolti dal calcolo integrale) pervenne al concetto di trasformazione, inteso come passaggio graduale da una forma geometrica ad un’altra (ad esempio dal cerchio al quadrato), con la forma che cambia, ma il volume o l’area restano uguali e a questo problema dedicò molti schizzi. Nel Codice di Madrid, Leonardo disegna un intero catalogo di trasformazioni di figure piane e di corpi solidi e non si compie un gran salto se si vede nelle trasformazioni di Leonardo, un anticipo della moderna topologia, che si occupa appunto di trasformazioni topologiche di figure, che lasciano inalterate alcune loro proprietà.

Leonardo si convinse dell’importanza della matematica tanto da affermare che essa rappresenta il linguaggio usato dalla natura, prima di Galileo Galilei. Però la sua matematica era fatta fondamentalmente dalla geometria euclidea. Egli cercava di comprendere la natura osservando i fenomeni più disparati come il volo degli uccelli, i movimenti dell’acqua di un fiume o la struttura dei vortici, trasformando i fenomeni in geometria. E, dal momento che tutto forniva un’immagine dinamica della natura, la sua geometria non poteva essere che dinamica. Egli rappresentava le varie forme in cui evolve la natura per mezzo della geometria, e affermava che questa “si fa col moto”, mostrando come, con il moto di un punto si ottiene una linea, con il moto di una linea la superficie e con il moto di una superficie un volume.

Egli però non è un teorico e il suo uso della matematica è sempre pragmatico. In essa convivono grandi difficoltà e grandi intuizioni, mancando una sintesi teorica delle ricerche. Se si considera allora la capacità di produrre grandi sintesi astratte o di manipolare numeri, certamente Leonardo non fu un matematico; se si considerano invece i problemi ai quali si appassionò, nel campo che gli era più congeniale della geometria e della visione pittorica, allora il discorso cambia. È qui che, osservando la matematica moderna, si riesce a vedere come alcuni dei risultati attuali erano già stati ottenuti graficamente da Leonardo, solo con l’aiuto della riga e del compasso.